در حال پالایش مطالب میباشیم تا اطلاع ثانوی مطلب قرار نخواهد گرفت.
    توجه : تمامی مطالب این سایت از سایت های دیگر جمع آوری شده است. در صورت مشاهده مطالب مغایر قوانین جمهوری اسلامی ایران یا عدم رضایت مدیر سایت مطالب کپی شده توسط ایدی موجود در بخش تماس با ما بالای سایت یا ساماندهی به ما اطلاع داده تا مطلب و سایت شما کاملا از لیست و سایت حذف شود. به امید ظهور مهدی (ع).

    اشتراک دو مجموعه اعداد گویا و گنگ چیست

    1 بازدید

    اشتراک دو مجموعه اعداد گویا و گنگ چیست را از سایت اسک 98 دریافت کنید.

    عدد گویا

    عدد گویا

    عدد گویا[۱] (به انگلیسی: Rational number) در علم ریاضیات، عددی است، که می‌تواند به صورت کسر p/q از دو عدد صحیح (p صورت کسر و q مخرج کسر غیر صفر) بیان شود.[۲] به عبارت دیگر اعداد گویا کسرهایی هستند که از تقسیم عدد صحیح بر عدد صحیح به جز صفر پدید آمده باشد مثلا عدد صحیح زیر رادیکال نباشد.[۳] از آن‌جایی که q {\displaystyle q} می‌تواند برابر با عدد یک باشد، پس تمامی اعداد صحیح، عدد گویا نیز هستند. مجموعه تمام اعداد گویا معمولاً با حرف Q {\displaystyle Q} (یا علامت Q {\displaystyle \mathbb {Q} } ) نمایش داده می‌شود که به انتخاب جوزپه پئانو از ابتدای کلمهٔ ایتالیاییِ quoziente، به‌معنای خارج‌قسمت، اخذ شده‌است.[۴]

    تمامی اعداد حقیقی که گویا نباشند، گنگ هستند. به عنوان نمونه، نسبت 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} کسر هست، اما یک عدد گنگ است. به‌طور کلی می‌توان اعداد گویا را بدین صورت تعریف کرد: { x y x Z , y Z , y 0 } {\displaystyle \{{\frac {x}{y}}\mid x\in \mathbb {Z} ,y\in \mathbb {Z} ,y\neq 0\}}

    اعداد صحیح، طبیعی و اعداد حسابی همه زیر مجموعه‌ای از اعداد گویا هستند زیرا مخرج تمامی اعداد طبیعی یک است و علامت آن‌ها مثبت در نتیجه همهٔ آنان کسر هستند. اعداد اعشاری را می‌توان جزو اعداد گویا به حساب آورد زیرا هر عدد اعشاری را می‌توان به صورت کسری نوشت که مخرج آن یکی از توان‌های مثبت ۱۰ و صورت آن یک عدد صحیح باشد. برای نمایش آنان روی محور می‌توان آنان را به کسر تبدیل نمود. اعداد گویا حاصل تقسیم دو عدد (تقسیم یک عدد صحیح بر یک عدد صحیح[۵]) هستند. بین دو عدد گویا بی‌نهایت عدد گویا وجود دارد. اعداد گویا از منفی بی‌نهایت تا مثبت بی‌نهایت ادامه دارند. همچنین بین دو عدد گنگ بی شمار عدد گنگ وجود دارد.

    مقایسه[ویرایش]

    برای مقایسه اعداد گویای مثبت، پس از هم مخرج کردن، صورت‌هایشان مورد مقایسه قرار می‌گیرد؛ هر کدام که بزرگتر بود، آن عدد بزرگتر است. برای هم مخرج کردن، صورت و مخرج هر یک از اعداد گویا در مخرج دیگری ضرب می‌شود.

    نکته: بین دو عدد گویای مثبت که صورتشان برابر است، عددی که مخرجش کوچکتر باشد، از عدد دیگر بزرگتر است.

    برای مقایسه دو عدد گویای a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} و c d {\displaystyle {\frac {c}{d}}} به‌صورت زیر مخرج‌ها یکی می‌شوند:

    سپس صورت دو کسر به‌دست‌آمده مورد مقایسه قرار می‌گیرند: a × d ? c × b {\displaystyle a\times d\;?\;c\times b}

    مثال[ویرایش]

    دو عدد 5 11 {\displaystyle {\frac {5}{11}}} و 3 7 {\displaystyle {\frac {3}{7}}} به‌صورت زیر مقایسه می‌شوند:

    اعمال اصلی ریاضی[ویرایش]

    جمع و تفریق[ویرایش]

    برای جمع و تفریق اعداد گویا ابتدا مخرج کسرها یکسان شده، سپس صورت‌ها با هم جمع یا تفریق می‌شوند:

    ضرب[ویرایش]

    برای ضرب اعداد گویا، صورت‌ها را در هم و مخرج‌ها نیز در هم ضرب می‌شوند.

    تقسیم[ویرایش]

    برای تقسیم دو عدد گویا، عدد اول را در معکوس عدد دوم ضرب می‌شود.

    جستارهای وابسته[ویرایش]

    منابع[ویرایش]

    Wikipedia contributors, "Rational number," Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Rational_number&oldid=206998939

    منبع مطلب : fa.wikipedia.org

    مدیر محترم سایت fa.wikipedia.org لطفا اعلامیه بالای سایت را مطالعه کنید.

    29.1. اعداد گنگ و اعداد گویا - ریاضیات ایران

    به نام خدا

    الهم صل علی محمد و آل محمد

    اینکه می گوییم عددی گنگ است یعنی چه ؟ آیا به این معنی است که قادر به صحبت نیست ؟ !!! مسلما ً این گونه نیست. در ریاضیات به اعدادی که گویا نباشند، اعداد گنگ ( اصم ) می گویند.

    اعداد گویا چه نوع اعدادی هستند؟ آیا این اعداد نیز اعداد « سخن گو » هستند؟ خیر ؛ به عددی که بتوان آن را با یک کسر معمولی بیان کنیم ، یک « عدد گویا » می گوییم.

    عددی گنگ است زیرا هیچ کسری به صورت وجود ندارد که برابر با باشد. اگر را محاسبه کنیم خواهیم داشت :

    ( در پایان این قسمت اثبات خواهیم کرد که عددی گنگ است. )

    دقت کنید که در ارقام ِ هیچ الگویی وجود ندارد و هیچ گروهی از ارقامش تکرار نمی شوند.

    بنابراین این سوال پیش می آید که آیا همه ی اعداد گویا ، در نمایش اعشاری ، یک گروه از ارقامشان دوره ای هستند و تکرار می شوند؟

    برای مشخص شدن مطلب ، اجازه دهید چند کسر را ارزیابی کنیم :

    که این عدد را می توان به صورت نوشت. که دارای یک گروه شش رقمی تکراری است یا به عبارتی دوره ی گردش ِ ، شش رقمی است و آن ارقامی که بالای آن ها خط کشیده ایم از ابتدای خط تا انتهای آن به ترتیب تکرار می شوند.

    اما مقدار کسر ِ را ببینید :

    چنانچه ملاحظه نمودید ما این کسر را تا بیش از 100 رقم اعشار محاسبه نمودیم اما هیچ دوره ی گردشی مشاهده نمی کنیم. آیا می توانیم نتیجه بگیریم که عددی گنگ است ؟ اگر چنین باشد که تعریف قبلی ما برای اعداد گنگ باطل می شود !!!...

    آیا اگر مقدار را کمی بیشتر محاسبه کنیم، اتفاق خاصی نخواهد افتاد؟ ببینیم اگر 10 رقم اعشار جلوتر رویم چه می شود :

    به نظر می رسد یک الگوی تکراری شروع شود و آغاز آن 0091 باشد. محاسبات را بیشتر می کنیم( بیش از 200 رقم ) ، آیا حدس ما درست خواهد بود ؟ ببینید :

    اگر محاسبات را تا 332 رقم اعشار ادامه دهیم ، الگو واضح خواهد شد :

    پس می توانیم این محاسبات را متوقف کنیم و نتیجه بگیریم ( البته بدون اثبات) که « نمایش یک کسر معمولی به صورت عدد اعشاری ، همواره یک دوره ارقام چرخشی دارد. » البته بعضی از این کسر ها در این نمایش، دوره ی چرخش کوتاهی دارند : مثلا ً دوره ی چرخش یک رقمییا یک دوره ی چرخشی 6 رقمی دارد و بعضی ها مانند که دوره ی 108 رقمی دارد، دوره ی طولانی تری دارند.

    این ، گواهی بر آن است که یک کسر دارای نمایش ِ اعشاری متناوب است ولی اعداد گنگ چنین نیستند.

    اکنون ثابت می کنیم که را نمی توان به صورت یک کسر نوشت که آن نتیجه خواهد داد عددی گنگ است.

    ... « فرض کنیم کسری با کوچکترین جملات است که در آن a و b هیچ مقسوم علیه مشترکی ندارند. فرض کنیم . دو طرف تساوی را به توان 2 می رسانیم : بنابراین . یعنی عددی زوج است . چونتوان دوم هر عدد فرد، عددی فرد است پس چون زوج است ، a نمی تواند عددی فرد باشد ؛ پس a زوج است و می توان فرض کرد a = 2k . بنابراین که نشان می دهد . پس زوج است و b نیز زوج خواهد شد. پس در کل از اینکه باشد ، به این نتیجه رسیدیم که a و b بایستی اعداد زوجی باشند که در این صورت a و b دارای حداقل یک مقسوم علیه مشترک ( یعنی 2 ) هستند که این نتیجه با فرض اولیه ی ما ( a و b هیچ مقسوم علیه مشترکی ندارند ) در تناقض است. بنابراین فرض اینکه را بتوان به صورت یک کسر نوشت باطل است یعنی عددی گنگ است . » ... .

    شاید این اثبات برای شما اصرار آمیز و گیج کننده باشد اما با کمی دقت و پیگیری ِ گام به گام ِ آن ، به زیبایی این اثبات پی خواهید برد.

    منبع مطلب : irmath.com

    مدیر محترم سایت irmath.com لطفا اعلامیه بالای سایت را مطالعه کنید.

    اعداد گنگ (اصم)

    عدد اعشاری …۰/۱۲۳۴۵ را در نظر بگیرید، می‌بینیم که ارقام اعشاری آن تمام نمی‌شوند یعنی مختوم نیست از طرفی ارقام اعشاری آن تکرار نمی‌شوند. پس متناوب نیست.

    هر عددی که نتوان آن را بصورت کسر نشان داد عدد گنگ یا اصم می‌نامند.

    همانطور که می‌دانیم اعداد طبیعی و حسابی و صحیح همگی زیرمجموعه اعداد گویا هستند. چون همه اعضای آن جزو اعداد گویا حساب می‌شوند.

    اعداد یا گویا هستند یا گنگ ،بنابراین این دو مجموعه هیچ عضو مشترکی ندارند یعنی نمی‌توان عددی را پیدا کرد که هم عضو اعداد گویا باشند هم عضو اعداد گنگ پس اشتراک این دو مجموعه تهی است.

    چون اعداد طبیعی و حسابی و صحیح هیچکدام گنگ نیستند ،پس اشتراکی با اعداد گنگ ندارند.

    اگر دو مجموعه عضو مشترکی نداشته باشند اختلاف آنها همان مجموعه اول است؛ چون باید عضوی‌های مشترک کم شوند و عضو مشترکی وجود ندارد پس حاصل همان مجموعه اول است.

    چون N زیرمجموعه Z است اشتراک بین Z و Nبرابر خود N است. 

    بعضی از اعداد جذر کامل صحیح دارند مانند ۱، ۴، ۹، ۱۶ و … و برخی اعداد مانند ۲، ۳، ۶ و … جذر صحیح ندارند .در واقع جذر این اعداد، اعداد گنگ ایجاد می‌کند ،چراکه هر چقدر جذر این اعداد را ادامه دهیم تمام نمی‌شوند و حتی عدد اعشاری متناوب هم ایجاد نمی‌شود.

    (عدد پی) در محاسبات و محیط دایره مورد استفاده قرار می‌گیرد، این یک عدد گنگ است؛ یعنی دارای ارقام اعشاری بی‌شماری است.

    منبع مطلب : kamanacademy.ir

    مدیر محترم سایت kamanacademy.ir لطفا اعلامیه بالای سایت را مطالعه کنید.

    جواب کاربران در نظرات پایین سایت

    مهدی : نمیدونم, کاش دوستان در نظرات جواب رو بفرستن.

    میخواهید جواب یا ادامه مطلب را ببینید ؟
    امید 1 ماه قبل
    2

    به نظرم اشتراک اعداد گنگ و حقیقی اعداد گویا باشه حالا نیدونم جوابم درسته یا نه اگه جوابم اشتباه بود لطفا بنویسید ممنون

    مهدی 9 ماه قبل
    2

    نمیدونم, کاش دوستان در نظرات جواب رو بفرستن.

    برای ارسال نظر کلیک کنید