توجه : تمامی مطالب این سایت از سایت های دیگر جمع آوری شده است. در صورت مشاهده مطالب مغایر قوانین جمهوری اسلامی ایران یا عدم رضایت مدیر سایت مطالب کپی شده توسط ایدی موجود در بخش تماس با ما بالای سایت یا ساماندهی به ما اطلاع داده تا مطلب و سایت شما کاملا از لیست و سایت حذف شود. به امید ظهور مهدی (ع).

    هر عدد صحیح یک عدد طبیعی است

    1 بازدید

    هر عدد صحیح یک عدد طبیعی است را از سایت اسک 98 دریافت کنید.

    عدد صحیح

    عدد صحیح یا عدد درست، عددی است که می‌تواند بدون جزء کسری نوشته شود. برای مثال، ۲۱، ۴، ۰، و۴− عدد صحیح هستند، در حالی که ۹٫۷۵، و ۲ عدد صحیح نیستند؛ و اعداد صحیح می‌شود گفت روند هستند مجموعه اعداد صحیح از صفر (۰)، اعداد طبیعی مثبت (۱، ۲، ۳، ...)، که همچنین اعداد شمارشی نیز گفته می‌شوند، و وارون جمعیشان (اعداد صحیح منفی، یعنی، ۱−، ۲−، ۳−، ...) تشکیل شده‌است.

    این مجموعه شامل اعداد مثبت و صفر و اعداد منفی است. در ریاضیات، معمولاً این مجموعه را با Z یا Z {\displaystyle \mathbb {Z} } (یونی کد U+2124 ℤ) (ابتدای کلمهٔ آلمانی Zahlen ([ˈtsa:lən] به معنی اعداد) نشان می‌دهند. .[۱][۲][۳][۴] همانند مجموعهٔ اعداد طبیعی، مجموعهٔ اعداد صحیح نیز یک مجموعهٔ نامتناهی‌ست.

    شاخه‌ای از ریاضیات که به مطالعهٔ اعداد صحیح می‌پردازد، نظریهٔ اعداد نام دارد. در واقع می‌توان گفت اعداد طبیعی و حسابی زیر مجموعه اعداد صحیح هستند؛ و اعداد صحیح هم زیر مجموعه اعداد گویا هستند.

    خواص جبری[ویرایش]

    همانند اعداد طبیعی، Z {\displaystyle \mathbb {Z} } نیز نسبت به دو عمل جمع و ضرب بسته‌است. این بدان معناست که حاصل جمع و حاصل ضرب دو عدد صحیح، خود، یک عدد صحیح است. بر خلاف مجموعهٔ اعداد طبیعی، از آنجا که اعداد صحیح منفی، و به ویژه، عدد صفر هم به Z {\displaystyle \mathbb {Z} } تعلق دارند، این مجموعه، نسبت به عمل تفریق نیز بسته‌است. اما Z {\displaystyle \mathbb {Z} } تحت عمل تقسیم بسته نیست، زیرا خارج قسمت تقسیم دو عدد صحیح، لزوماً عددی صحیح نخواهد بود و به کسرهایی که از تقسیم دو عدد صحیح حاصل آمده باشد، اعداد گویا گفته می‌شود.

    برخی از خواصّ اساسی مربوط به عملیّات جمع و ضرب در جدول زیر گنجانیده شده‌است (در اینجا b ,a، و c اعداد صحیح دل‌خواه هستند):

    مطابق جدول بالا، خواصّ بسته بودن، شرکت‌پذیری و جابه‌جایی (یا تعویض‌پذیری) نسبت به هر دو عمل ضرب و جمع، وجود عضو همانی (واحد، یا یکّه) نسبت به جمع و ضرب، وجود عضو معکوس فقط نسبت به عمل جمع، و خاصیّت توزیع‌پذیری ضرب نسبت به جمع از اهمیت برخوردارند.

    در مبحث جبر مجرد، پنج خاصیّت اوّل در مورد جمع، نشان می‌دهد که مجموعهٔ Z {\displaystyle \mathbb {Z} } به همراه عمل جمع یک گروه آبلی است. امّا، از آن جا که Z {\displaystyle \mathbb {Z} } نسبت به ضرب عضو وارون (یا معکوس) ندارد، مجموعهٔ اعداد صحیح، به همراه عمل ضرب، گروه نمی‌سازد.

    مجموعهٔ ویژگی‌های ذکر شده حاکی از این است که Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ، به همراه عملیّات ضرب و جمع، یک حلقه است. امّا به دلیل نداشتن وارون ضربی، میدان نیست. مجموعهٔ اعداد گویا را باید کوچک‌ترین میدانی دانست که اعداد صحیح را در بر می‌گیرد.

    اگرچه تقسیم معمولی در اعداد صحیح تعریف شده نیست، خاصیّت مهمّی در مورد تقسیم وجود دارد که به الگوریتم تقسیم مشهور است. یعنی به ازاء هر دو عدد صحیح و دل‌خواه a و b) b مخالف صفر)، q و r منحصر به فردی متعلق به مجموعهٔ اعداد صحیح وجود دارد، به طوری که: a = q × b + r که در این‌جا، q خارج قسمت و r باقی‌مانده تقسیم a بر b است. این کار اساس الگوریتم اقلیدس برای محاسبهٔ بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک را تشکیل می‌دهد.

    همچنین در جبر مجرد، بر اساس خواصی که در بالا ذکر شد، Z {\displaystyle \mathbb {Z} } یک دامنه اقلیدسی است و در نتیجه Z {\displaystyle \mathbb {Z} } دامنه ایده‌آل اصلی می‌باشد و هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک را می‌توان به‌طور یکتا به حاصل‌ضرب اعداد اوّل تجزیه کرد (قضیه اساسی علم حساب).

    کاردینال Z {\displaystyle \mathbb {Z} } [ویرایش]

    کاردینال (تعداد از اعضای مجموعه) مجموعهٔ Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ، برابر الف-صفر است. این یعنی که تعداد اعضای این مجموعه با تعداد اعضای مجموعه‌های N {\displaystyle \mathbb {N} } ، W {\displaystyle \mathbb {W} } و Q {\displaystyle \mathbb {Q} } برابر است.

    جستارهای وابسته[ویرایش]

    منابع[ویرایش]

    منبع مطلب : fa.wikipedia.org

    مدیر محترم سایت fa.wikipedia.org لطفا اعلامیه بالای سایت را مطالعه کنید.

    عدد طبیعی

    عدد طبیعی

    اعداد طبیعی (به انگلیسی: Natural number) یا اعداد صحیح مثبت[۱] اعدادی هستند که برای شمارش (بطور مثال در " شش سکه روی میز است") و برای ترتیب (بطور مثال در "این سومین شهر در کشور است") به کار می‌روند. در اصطلاح‌شناسی ریاضیات، لغت مورد استفاده برای شمارش اشیاء "اعداد کاردینال" و لغت مربوط به ترتیب آن‌ها "اعداد ترتیبی" است.مجموعهٔ اعداد طبیعی همان مجموعهٔ اعداد صحیح مثبت یعنی {...،۱،۲،۳} است.

    برای بودن یا نبودن عدد صفر در مجموعه اعداد طبیعی سه تعریف موجود می‌باشد. در تعریف اول طبق استاندارد ISO 80000-2 عدد صفر با عنوان اعداد صحیح غیر منفی پذیرفته شده‌است.[۲] اما در تعریف دیگر صفر به عنوان یک عضو شناخته نمی‌شود و با اضافه کردن آن، مجموعه اعداد حسابی به وجود می‌آید. این مجموعه یک مجموعه نامتناهی است. در ریاضیات، مجموعه شمار نهادی (اعداد طبیعی) را با نماد N نمایش می‌دهند. این حرف از آغاز واژه انگلیسی Natural، به معنای نهادی (طبیعی)، گرفته شده‌است. مجموعه اعداد طبیعی دارای بی‌شمار عضو می‌باشد.

    اهداف مربوط به مفاهیم زبانی از اعداد کاردینال و ترتیبی، (به اعداد فارسی نگاه کنید) است. مفهوم بعد این است که از یک شماره فقط برای نامگذاری استفاده می‌شود.

    خواص از شمار نهادی (اعداد طبیعی) مربوط به ابداع، مانند توزیع اعداد اول، در نظریه اعداد مورد مطالعه قرار گرفته‌است. مشکلات مربوط به شمارش و دستور، مانند شمارش پارتیشن، در ترکیبات مورد مطالعه قرار گرفتند.

    اصل استقرای ریاضی[ویرایش]

    بنیادی‌ترین ویژگی اعداد طبیعی اصل استقرای ریاضی است. استقرار ریاضی بیان می‌کند که اگر P ( x ) {\displaystyle P(x)} به معنای صدق ویژگی P برای عدد x باشد، برای اینکه P ( x ) {\displaystyle P(x)} برای همهٔ اعداد طبیعی صدق کند باید:[۳]

    به‌این‌ترتیب با ترکیب شرط ۱ و ۲ (در حالت خاص k = 1 {\displaystyle k=1} ) می‌توان گفت که P ( 2 ) {\displaystyle P(2)} هم صادق است، در نتیجه بنابر شرط ۲ (در حالت خاص k = 2 {\displaystyle k=2} P ( 3 ) {\displaystyle P(3)} هم صادق است. واضح است که با تکرار چندبارهٔ این عملیات می‌توان ویژگی P را برای هر عددی ثابت کرد، ازین‌رو P ( k ) {\displaystyle P(k)} برای همهٔ اعداد k صادق است.[۴]

    فرمول ساده و کاربردی‌ای که برای محاسبهٔ n عدد اول وجود دارد را می‌توان با استقرای ریاضی ثابت کرد؛ بنابراین فرمول: 1 + 2 + 3 + . . . + n = n ( n + 1 ) 2 . {\displaystyle 1+2+3+...+n={\frac {n(n+1)}{2}}.} برای اثبات این فرمول، نخست باید توجه کرد که فرمول برای ۱ صادق است ( 1 ( 1 + 1 ) 2 = 1 {\displaystyle {\frac {1(1+1)}{2}}=1} ). سپس فرض می‌شود که فرمول برای k عدد طبیعی اول صادق باشد:[۵] 1 + 2 + 3 + . . . + k = k ( k + 1 ) 2 . {\displaystyle 1+2+3+...+k={\frac {k(k+1)}{2}}.}
    آن‌گاه:
    1 + 2 + 3 + . . . + k + ( k + 1 ) = k ( k + 1 ) 2 + ( k + 1 ) , {\displaystyle 1+2+3+...+k+(k+1)={\frac {k(k+1)}{2}}+(k+1),}
    = k ( k + 1 ) + 2 ( k + 1 ) 2 , {\displaystyle ={\frac {k(k+1)+2(k+1)}{2}},}
    = k 2 + 3 k + 2 2 , {\displaystyle ={\frac {k^{2}+3k+2}{2}},}
    = ( k + 1 ) ( k + 2 ) 2 , {\displaystyle ={\frac {(k+1)(k+2)}{2}},} (تجزیهٔ دوجمله‌ای صورت)
    بنابراین فرمول برای k + 1 {\displaystyle k+1} صدق می‌کند. بنابر استقرای ریاضی این امر نشان‌دهندهٔ این است که فرمول فوق برای هر کدام از اعداد طبیعی صادق است.[۶]

    روش صوری‌تر برای بیان استقرای ریاضی (بدون استفاده از «ویژگی» های عدد) این است که A یک مجموعهٔ ناتُهی در نظر گرفته شود و شرط گذاشته شود که

    به‌این‌ترتیب ثابت می‌شود که A مجموعهٔ همهٔ اعداد طبیعی است.[۷]

    شرط ناتهی بودن مجموعهٔ A به این دلیل است که مجموعه تهی «کوچکترین عضو» ندارد و هر مجموعهٔ ناتهی «کوچکترین عضو» دارد. این اصل را، که به اصل خوش‌ترتیبی موسوم است، می‌توان با استقرای ریاضی ثابت کرد. فرض شود A «کوچکترین عضو» نداشته باشد و B مجموعهٔ همهٔ اعداد طبیعی‌ای باشد که عضو A نیستند. مشخص است که عدد ۱ عضو A نیست (چرا که اگر ۱ عضو A بود A «کوچکترین عضو» داشت)، و علاوه‌براین اگر ۱ تا k عضو A نباشند، k+1 هم عضو A نیست (درغیراین‌صورت k+1 کوچکترین عضو A می‌بود)، پس ۱ تا k+1 در A نیستند. ازین امر نتیجه می‌شود که ۱ تا n برای هر عدد طبیعی n عضو A نیستند و ثابت می‌شود که A = {\displaystyle A=\emptyset } .[۸]

    همچنین می‌توان اصل استقرای ریاضی را با استفاده از اصل خوش‌ترتیبی ثابت کرد.[۹] «اصل استقرای ریاضی کامل» را هم می‌توان به عنوان نتیجهٔ اصل استقرای ریاضی به دست آورد. این اصل زمانی به کار می‌آید که برای اثبات P ( k + 1 ) {\displaystyle P(k+1)} علاوه بر P ( k ) {\displaystyle P(k)} باید P ( l ) {\displaystyle P(l)} نیز برای همهٔ اعداد طبیعی l k {\displaystyle l\leq k} مفروض باشد. در این حالت بر اساس «اصل استقرای ریاضی کامل»، اگر A مجموعه‌ای از اعداد طبیعی باشد،

    آنگاه A مجموعهٔ همهٔ اعداد طبیعی است.[۱۰]

    تعریف بازگشتی[ویرایش]

    تعریف بازگشتی مفهومی نزدیک به اصل استقرای ریاضی است. برای مثال، عدد n ! {\displaystyle n!} (که «اِن فاکتوریل» خوانده می‌شود) به عنوان حاصل‌ضرب همهٔ اعداد طبیعی کوچکتر از یا برابر با n تعریف می‌شود:[۱۱]

    n ! = 1 2 3 ( n 1 ) n {\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot (n-1)\cdot n}

    مفهوم فاکتوریل را می‌توان به شکل دقیق‌تر زیر بیان کرد:[۱۲]

    حاصل‌جمع همهٔ اعداد طبیعی کوچکتر از یا برابر با n نیز (که با نماد i = 1 n k {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}k} نشان داده می‌شود) نیز تعریفی بازگشتی است و می‌توان آن را به شکل زیر بیان کرد:[۱۳]

    تعریف صوری[ویرایش]

    اصول موضوعهٔ پئانو[ویرایش]

    اصول پئانو خواص حسابی اعداد طبیعی که با یک مجموعه N یا N . {\displaystyle \mathbb {N} .} نمادهای غیر منطقی برای اصول، شامل یک نماد ثابت ۰ و یک نماد تابعی تک متغیره S می‌شود.

    اصل نخست می‌گوید که ثابت ۰ یک عدد طبیعی است:

    باقی اصول موضوعه، خواص حسابی اعداد طبیعی را تعریف می‌کنند. اعداد طبیعی، مفروض اند بر اینکه تحت یک تابع «تالی» تک متغیره S بسته‌اند.

    ساخت بر اساس نظریهٔ مجموعه‌ها[ویرایش]

    منابع[ویرایش]

    فهرست منابع[ویرایش]

    منبع مطلب : fa.wikipedia.org

    مدیر محترم سایت fa.wikipedia.org لطفا اعلامیه بالای سایت را مطالعه کنید.

    تعاریف اعداد صحیح و .......

    اعداد حسابی همان اعداد طبیعی هستند که صفر هم به آنها اضافه شده است. به عبارت دیگر به مجموعهٔ اعداد زیر ، اعداد صحیح یا اعداد درست گویند و آن را با Z نمایش می‌دهند:

    { ... , 3 , 2 , 1 , 0 , 1- , 2- , 3- , ...} = Z

    درواقع اعداد صحیح شامل اعداد طبیعی مثبت و اعداد طبیعی منفی و عدد صفر است. این اعداد همانند اعداد طبیعی جزء مجموعه‌های شمارش پذیر نامتناهی است. شاخه‌ای از ریاضیات که به مطالعه در مورد ویژگی‌های اعداد صحیح می‌پردازدنظریه اعداد نام دارد.

    صحیح همانند اعداد طبیعی نسبت به اعمال جمع و ضرب بسته است،یعنی جمع و ضرب هر دو عدد صحیح، یک عدد صحیح است. و چون اعداد صحیح شامل اعداد منفی و صفر می‌باشند بنابراین بر خلاف اعداد طبیعی نسبت به عمل تفریق نیز بسته اند.ولی چون حاصل تقسیم دو عدد صحیح بر هم ممکن است عددی صحیح نباشد،پس نمی‌تواند نسبت به عمل تقسیم بسته باشد.

    اعداد طبیعی، اعدادی هستند که برای شمردن به کار می‌روند. مجموعه اعداد طبیعی {... ,۳ ,۲ ,۱} است.

    در این مجموعه عدد صفر وجود ندارد و با اضافه کردن آن، مجموعه اعداد حسابی به وجود می‌آید. این مجموعه یک مجموعه نامتناهی است.

    در ریاضیات، مجموعه اعداد طبیعی را با نماد N یا نمایش می‌دهند. این حرف از آغاز واژه انگلیسی Natural، به معنای طبیعی، گرفته شده است.

    مجموعه نامتناهی

    در ریاضیات (نظریه مجموعه‌ها)، به مجموعه‌ای که متناهی نباشد یعنی تعداد اعضای آن بینهایت باشد، مجموعه نامتناهی گویند. یک مجموعه نامتناهی می‌توان شمارا یا ناشمارا باشد.

    چند مثال:

    اعداد حقیقی

    مجموعۀ همۀ اعداد گویا و اعداد گنگ با یک‌دیگر را اعداد حقیقی (Real numbers) می‌گویند، که با نمایش داده می‌شود. اعداد حقیقی را می‌توان با اضافه کردن عدد موهومی ( ) بسط داد. اعدادی به فرم a + bi را که در آن‌ها a و b هر دو عدد حقیقی هستند، اعداد مختلط می‌نامند.

    اعداد گویا

    اعداد گویا حاصل تقسیم دو عدد صحیح بر یکدیگرست، به شرطی که عدد دوّم (مقسوم علیه) صفر نباشد. به بیان دیگر، هر عدد گویا را می‌توان به شکل a/b یا نوشت (که a و b اعداد صحیح‌اند).

    در ریاضیات، مجموعه اعداد گویا را، عموماً، با نمایش می‌دهند. به عنوان مجموعه‌ای شمارا (یا قابل شمارش)، ولی نامتناهی، مجموعهٔ اعداد گویا، خود، زیرمجموعه‌ای‌ست چگال از مجموعهٔ بزرگ‌تر و عمومی‌تر اعداد حقیقی.

    به عنوان یک اشتباه نسبتاً رائج، گاهی اعداد کسری را با اعداد گویا یکی می‌دانند. این در حالی‌ست که، اعداد گویا فقط کسرهایی هستند که از تقسیم دو عدد صحیح حاصل‌آمده باشد. به عنوان نمونه، نسبت کسر هست، ولی، گویا نیست.

    ضرب دکارتی

    ضرب دکارتی یا حاصلضرب دکارتی (Cartesian product) دو مجموعه عملگری در ریاضیات است که برای ایجاد زوج مرتب از اعضای دو مجموعه عمل‌وند آن به‌کار می‌رود. با استفاده از این عمل تمام ترکیبات ممکن دوتایی از اعضای دو مجموعه ایجاد خواهد شد. در زوج‌های مرتّب تولید شده عضو نخست از اولین مجموعه و عضو دو از دومین مجموعه انتخاب می‌شود.

    حاصلضرب دکارتی مجموعه‌های X و Y به صورت نوشته شده و تعریف زیر را دارا است:

    تفریق یکی از چهار عمل اصلی در در حساب و جبر مقدماتی است، که به فرآیند تعیین تفاوت مابین دو عدد اطلاق می‌گردد.

    فرمول تفریق:         z = xy

    افراز یک مجموعه یعنی تبدیل کردن آن به زیرمجموعه‌هایش به طوری که:

    1-اشتراک هر کدام از آن زیرمجموعه ها با یکدیگر تهی باشد.
    2-
    اجتماع تمامی زیر مجموعه ها برابر با مجموعه افراز شده باشد

    منبع مطلب : qaen-amoozesh.blogfa.com

    مدیر محترم سایت qaen-amoozesh.blogfa.com لطفا اعلامیه بالای سایت را مطالعه کنید.

    جواب کاربران در نظرات پایین سایت

    مهدی : نمیدونم, کاش دوستان در نظرات جواب رو بفرستن.

    میخواهید جواب یا ادامه مطلب را ببینید ؟
    ناشناس 15 روز قبل
    -1

    نمی‌دونم

    ناشناس 21 روز قبل
    -1

    ببخشید سلام اشتباه شد یک اشکالی درگوشی من افتاد که باعث این اتفاق شد

    مهدی 11 ماه قبل
    1

    نمیدونم, کاش دوستان در نظرات جواب رو بفرستن.

    برای ارسال نظر کلیک کنید