در حال پالایش مطالب میباشیم تا اطلاع ثانوی مطلب قرار نخواهد گرفت.
    توجه : تمامی مطالب این سایت از سایت های دیگر جمع آوری شده است. در صورت مشاهده مطالب مغایر قوانین جمهوری اسلامی ایران یا عدم رضایت مدیر سایت مطالب کپی شده توسط ایدی موجود در بخش تماس با ما بالای سایت یا ساماندهی به ما اطلاع داده تا مطلب و سایت شما کاملا از لیست و سایت حذف شود. به امید ظهور مهدی (ع).

    هر مجموعه زیر مجموعه خودش است

    1 بازدید

    هر مجموعه زیر مجموعه خودش است را از سایت اسک 98 دریافت کنید.

    زیرمجموعه

    زیرمجموعه


    در ریاضیات به ویژه در نظریهٔ مجموعه‌ها مجموعهٔ A {\displaystyle A} را زیرمجموعهٔ مجموعهٔ B {\displaystyle B} (یا معادل آن مجموعهٔ B {\displaystyle B} را مجموعهٔ مادر مجموعهٔ A {\displaystyle A} ) گویند اگر مجموعهٔ B {\displaystyle B} ، مجموعهٔ A {\displaystyle A} را دربرداشته باشد.

    تعریف[ویرایش]

    اگر A {\displaystyle A} و B {\displaystyle B} دو مجموعه باشند و تمام اعضای A {\displaystyle A} در B {\displaystyle B} نیز باشد، آنگاه:

    همچنین از سوی دیگر می‌توان گفت:

    به عنوان مثال، اگر داشته باشیم B = { 1 , 2 , 3 , 7 } {\displaystyle B=\{1,2,3,7\}}

    اگر مجموعهٔ A زیرمجموعهٔ B باشد و هم‌زمان مجموعهٔ B نیز زیرمجموعهٔ A، مجموعه‌های A و B با یکدیگر برابرند.

    زیر مجموعه محض (سره)[ویرایش]

    اگرA {\displaystyle \subset } B، ولی A≠ B آنگاه A زیر مجموعه محض یا سره Bنامیده می‌شود

    همه زیر مجموعه های یک مجموعه به جز خود مجموعه را زیر مجموعه های محض یا سره میگویند.

    به عنوان مثال ، A = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle A=\{1,2,3\}} و B = { 1 , 2 , 3 , 7 } {\displaystyle B=\{1,2,3,7\}} باشد آنگاه A زیر مجموعه محض (سره) مجموعه B می‌باشد.

    توجه داشته باشید هر مجموعه ϕ {\displaystyle \phi } (تهی) را به عنوان زیر مجموعه سره خود دارد اما خود ϕ {\displaystyle \phi } (تهی) زیر مجموعه سره ندارد.

    تعداد زیر مجموعه‌های یک مجموعه[ویرایش]

    تعداد زیر مجموعه‌های یک مجموعه n عضوی برابر است با 2 n {\displaystyle 2^{n}} .

    تعداد زیر مجموعه‌های محض (سره) یک مجموعه n عضوی برابر است با 2 n 1 {\displaystyle 2^{n}-1} .

    منابع[ویرایش]

    منبع مطلب : fa.wikipedia.org

    مدیر محترم سایت fa.wikipedia.org لطفا اعلامیه بالای سایت را مطالعه کنید.

    مجموعه (ریاضیات)

    مجموعه (ریاضیات)

    مجموعه، از بُنداشت‌ها (اصول تعریف‌ناپذیر) در ریاضیات است.

    به هر گردایه یا دستهٔ مشخص از اشیاء دو به دو متمایز گفته می‌شود. مفهوم مجموعه با وجود سادگی آن از مفاهیم پایه‌ای ریاضی است.

    نظریه مجموعه‌ها در اواخر سده ۱۹ مطرح شد و اکنون یکی از بخش‌های اصلی ریاضیات است.

    مجموعه گردایه‌ای از اشیاء متمایز است. این اشیاء، عضوها یا عناصر مجموعه نامیده می‌شوند. اعضای یک مجموعه ممکن است هر چیزی باشند. مثلاً اعداد، افراد، حروف الفبا، مجموعه‌ای از حقایق مجموعه‌های دیگر و جز اینها، بنابراین منظور از اشیاء در تعریف مجموعه لزوماً اشیاء مادی نیست بلکه هر نهادی را هرچند انتزاعی و کاملاً ذهنی (همچون اعداد) می‌توان در ریاضیات یک شیء دانست و گردایهٔ آن اشیاء را مجموعه‌ای دانست.

    معمولاً مجموعه‌ها را با حروف بزرگ لاتین مانند A، B،C نشان می‌دهیم. دو مجموعهٔ Aو B برابر هستند اگر اعضای آن یکسان باشند.

    مجموعه بی نهایت را نمی توان در نمودار ون نمایش داد .

    برای نشان دادن زیر مجموعه باید آن را داخل آکولاد { } قرار دهیم .

    زیر مجموعه یک مجموعه ، خودش یک مجموعه است .

    مجموعه تهی زیر مجموعه همه مجموعه ها است .

    تعداد زیر مجموعه های یک مجموعه n عضوی برابر است با : ۲به توان n .

    تساوی مجموعه ها دو شرط دارد :

    ۱ _ تعداد اعضا بعد از حذف تکراری ها ، برابر باشد .

    ۲_ اعضا نظیر به نظیر با هم برابر باشد .

    تعریف هر مجموعه[ویرایش]

    اغلب در نوشته‌ها یا صحبت‌های خود کلمه‌هایی را به کار می‌بریم که دسته یا گروهی از اشیا یا موجودات را مشخص می‌کند. در ریاضی این قبیل از کلمه‌ها از واژهٔ مجموعه استفاده می‌کنیم.[۱]

    به طور کلی یک مجموعه را میتوان اینگونه معرفی نمود:

    «به هر گروه یا دسته از اشیاء متمایز و مشخص مجموعه میگویند و هر کدام از اشیاء عضو مجموعه میباشند»


    یک مجموعه را می‌توان با عباراتی به شکل زیر بیان کرد:

    همچنین می‌توانیم اعضای مجموعه را میان دو آکولاد قرار دهیم:

    البته دو تعریف گوناگون، هر دو می‌توانند نشان دهنده یک مجموعه باشند. مثلاً برای مجموعه‌هایی که در بالا تعریف کردیم، Aو C یکسان هستند زیرا عناصرشان با هم برابر است (A=C). همچنین به‌طور مشابه B = D. توجه کنید که در یک مجموعه، جابه‌جایی عناصر و نوشتن اعضای تکراری تأثیری در خواص مجموعه ندارد. به عنوان مثال:

    {۱۱٬۶}={۶٬۱۱}={۶٬۱۱٬۶٬۶}

    حال فرض کنید E مجموعهٔ نخستین هزار عدد طبیعی باشد. برای نمایش چنین مجموعه‌های بزرگی (که تعداد اعضای آن‌ها زیاد است)، نوشتن همهٔ عناصر مجموعه غیر عملی است؛ بنابراین Eرا به‌طور خلاصه به این شکل نمایش می‌دهیم:

    {۱۰۰۰،... ،۱٬۲٬۳} = E

    معمولاً این شکل نوشتن برای مجموعه‌هایی به کار می‌رود که اعضای آن الگوی مشخصی را دنبال می‌کنند که برای همه واضح است. اما در مجموعه‌هایی مانند{۴-،۳-،۰،... ،۳۵۷ }=F به راحتی نمی‌توان تشخیص داد که «F مجموعهٔ نخستین ۲۰ عددی است که چهار واحد کمتر از مربع عدد دیگری ست». در چنین مواردی برای نمایش اعضای مجموعه از علائم ریاضی استفاده می‌کنیم:

    F={n^۲–۴: ۰ <= n <= ۱۹}، nЄN

    یعنی: F مجموعه اعدادی به شکل n^۲–۴ است به‌طوری‌که n به اعداد طبیعی بین ۰ و ۱۹ تعلق دارند.

    مجموعه‌های مهم در ریاضی[ویرایش]

    . مجموعه اعداد فرد

    {...,O={1,3,5,7

    . مجموعه اعداد زوج ...,E={0,2,4,6,8

    مجموعه اعداد حقیقی برابر با اجتماع مجموعه اعداد گویا و مجموعه اعداد گنگ میباشد.

    بازه‌ها[ویرایش]

    ( a , b ) {\displaystyle (a,b)}

    ( a , b ] , [ a , b ) {\displaystyle (a,b],[a,b)}

    [ a , b ] {\displaystyle [a,b]}

    تساوی دو مجموعه[ویرایش]

    اگر A {\displaystyle A} و B {\displaystyle B} دو مجموعه در ریاضی باشد. دو شرط زیر برقرار باشد:

    آنگاه بدان معنی است که:

    A = B {\displaystyle A=B}

    مجموعه متناهی و نامتناهی[ویرایش]

    متناهی[ویرایش]

    یعنی اینکه تعداد اعضای مجموعه را به توان به صورت یک عدد حسابی نمایش داد.

    مثلا اعداد زوج تک رقمی { 2 , 4 , 6 , 8 , . . . . } {\displaystyle \{2,4,6,8,....\}}

    تعداد اعضا این مجموعه برابر عدد 4 است.

    نامتناهی[ویرایش]

    یعنی اینکه تعداد اعضای مجموعه را نتوان به صورت یک عدد حسابی نمایش داد.

    مثلا A = ( 0 , 1 ) {\displaystyle A=(0,1)}

    بین این دو عدد حقیقی بی نهایت عدد حقیقی دیگر است.

    مطالب در ارتباط با مجموعه‌ها[ویرایش]

    منابع[ویرایش]


    منبع مطلب : fa.wikipedia.org

    مدیر محترم سایت fa.wikipedia.org لطفا اعلامیه بالای سایت را مطالعه کنید.

    زیرمجموعه چگونه تعریف می شود و تفاوت آن با عضو بودن در مجموعه چیست ؟

    زیرمجموعه چگونه تعریف می شود و تفاوت آن با عضو بودن در مجموعه چیست ؟

    دوتا از نماد های مهمی که در بحث مجموعه ها استفاده میشه نماد عضو بودن در مجموعه و زیرمجموعه بودن هست. این دو نماد باهم تفاوت بسیاری دارند که الان میخوایم با همدیگه یاد بگیریم. اگه این نکته امروز رو یاد بگیرید مطمئن باشید …

    دوتا از نماد های مهمی که در بحث مجموعه ها استفاده میشه ،‌نماد عضو بودن در مجموعه و زیرمجموعه بودن هست. این دو نماد باهم تفاوت بسیاری دارند که الان میخوایم با همدیگه یاد بگیریم. اگه این نکته امروز رو یاد بگیرید مطمئن باشید ازین به بعد به راحتی همه سوالای صحیح و غلط در این مورد باهاش رو به رو بشید، رو میتونید به آسونی جواب بدید.

    عضو بودن در مجموعه

    به طور مثال مجموعه { ۳ و ۲ و ۱ }= A رو در نظر بگیرید. این مجموعه همونطور که ملاحظه میکنید ۳ تا عضو داره که این مطلب رو به صورت زیر نشون میدیم:

    البته اگه دوتا از عضو ها یا بیشتر رو بخوایم، باهم دیگه و به صورت خلاصه بگیم که عضو A هستن، میتونیم از شیوه های زیر استفاده کنیم:

    ۱ , ۲ ∈ A

    ۱ , ۳ ∈ A

    ۲ , ۳ ∈ A

    ۱ , ۲ , ۳  ∈ A

    این که از کدوم مدل بخایم استفاده کنیم، کاملا بستگی به صورت سوالمون داره. البته معمولا صورت سوال خودش اینا رو مینویسه و فقط از ما درست یا غلطیش رو میپرسه.

    حالا اگه یه چیزی عضو مجموعه نباشه ، اون رو باید چطوری نمایش بدیم؟ مثلا در مجموعه بالا میخوایم بگیم که عدد ۲ عضو این مجموعه نیست. باید بنویسم:

    ۲ ∉ A

    بیاین یه مثال در این مورد رو باهم کار کنیم.

    مثال : باتوجه به مجموعه { ۱۲- و  Φ و ۸- و a و ۵ و ۶ } =A به درست یا نادرست بودن عبارات زیر رو مشخص کنید.

    جواب : به صورت خلاصه جواب میدم ، توضیح اگه نیاز بود توی کامنت بپرسید لطفا

    پیشنهاد می کنم درس زیر رو مطالعه کنید :

    تعریف مجموعه ها رو با نوشتن اعضا ، نمودار ون و نماد ریاضی یاد بگیریم

    تعریف زیرمجموعه و نماد آن

    اگه از یک مجموعه ، یک یا چندتا عضوش رو انتخاب کنیم و اونا رو درکنارهم داخل یک آکولاد { } قرار بدیم، میگیم که ما یک زیرمجموعه از مجموعه اولی تشکلیل دادیم. مهم ترین چیزی که اینجا باید رعایت کنیم همون علامت آکولاد هستش. اگه آکولاد نذاریم میشه مثل چیزایی که واسه عضویت نوشته بودیم و دیگه زیرمجموعه به حساب نمیاد.

    دوباره مجموعه { ۳ و ۲ و ۱ }= A رو در نظر بگیرد. همون چیزایی که واسه قسمت عضویت نوشته بودیم رو اگه الان اینجا دوباره بنویسیم و البته داخل یه آکولاد بنویسیم. علامت عضویت رو باید برداریم و بجاش علامت زیر مجموعه بودن رو قرار بدیم، یعنی :

    { ۱ } ⊂ A

    { ۲ } ⊂ A

    { ۳ } ⊂ A

    { ۱ , ۲ } ⊂ A

    { ۱ , ۳ } ⊂ A

    { ۲ , ۳ } ⊂ A

    { ۱ , ۲ , ۳ } ⊂ A

     خب حالا بذارید یه نکته مهم رو براتون بگم. مجموعه تهی رو که یادتون هست !؟ اگه یادتون باشه به مجموعه ای که هیچ عضوی نداشته باشه، میگم مجموعه تهی و اون رو با نماد Φ  و یا { } نمایش میدن. حالا نکته چیه !؟

    نکته : مجموعه تهی زیرمجموعه همه مجموعه ها هست.

    پس علاوه بر اون ۷ تا زیر تا مجموعه که بالا نوشتم باید به آخرشون این رو هم اضافه کنیم:

    {  } ⊂ A      یا   Φ ⊂ A

    فرمول تعداد کل زیرمجموعه های یک مجموعه n عضوی 

    دیدم برای یک مجموعه که سه تا عضو داره ، ما میتونیم ۸ تا زیر مجموعه بنویسیم. به نظر میرسه باید یه فرمولی وجود داشته باشه که بشه تعداد زیرمجموعه هایی که میشه نوشت رو از همون اون محاسبه کرد. فرمولش رو در زیر باهم میخونیم :

    فرمول تعداد زیرمجموعه ها - درس در خانه

    برای بدست آوردن تعداد زیرمجموعه ها باید عدد ۲ رو به توان تعداد عضوهای اون مجموعه برسونیم. در مورد مثال قبلی دیدیم که سه تا عضو داشت و ۸ تا زیرمجموعه نوشتیم. چون ۲ به توان ۳ مساوی ۸ میشه.

    فرمول تعداد زیرمجموعه های ۲ عضوی از یک مجموعه n عضوی

    برای بدست اوردن تعداد زیرمجموعه های ۲ عضوی از یک مجموعه که درکل n عضو داره باید از فرمول زیر استفاده کنیم:

    تعداد زیرمجموعه های ۲عضوی=n×(n-1)÷۲

    مثال: تعداد زیرمجموعه های دو عضوی در یک مجموعه ۱۰ عضوی چندتاست؟

    جواب : طبق فرمول ۴۵ تا زیرمجموعه ۲ عضوی داره   :‌   ۴۵=۲÷۹۰=۲÷(۱-۱۰)×۱۰

    منبع مطلب : www.darsdarkhane.ir

    مدیر محترم سایت www.darsdarkhane.ir لطفا اعلامیه بالای سایت را مطالعه کنید.

    جواب کاربران در نظرات پایین سایت

    مهدی : نمیدونم, کاش دوستان در نظرات جواب رو بفرستن.

    میخواهید جواب یا ادامه مطلب را ببینید ؟
    ناشناس 25 روز قبل
    0

    به زیر مجموعه های یک مجموعه َa توان ان مجموعه میگوییم

    مهدی 9 ماه قبل
    -2

    نمیدونم, کاش دوستان در نظرات جواب رو بفرستن.

    برای ارسال نظر کلیک کنید