توجه : تمامی مطالب این سایت از سایت های دیگر جمع آوری شده است. در صورت مشاهده مطالب مغایر قوانین جمهوری اسلامی ایران یا عدم رضایت مدیر سایت مطالب کپی شده توسط ایدی موجود در بخش تماس با ما بالای سایت یا ساماندهی به ما اطلاع داده تا مطلب و سایت شما کاملا از لیست و سایت حذف شود. به امید ظهور مهدی (ع).

    همه اعداد اول فرد هستند درست یا نادرست

    1 بازدید

    همه اعداد اول فرد هستند درست یا نادرست را از سایت اسک 98 دریافت کنید.

    عدد اول به چه عددی گفته میشه و فرق اون با عدد مرکب چیه ؟

    عدد اول به چه عددی گفته میشه و فرق اون با عدد مرکب چیه ؟

    میدونیم که مجموعه اعداد طبیعی ۱ و ۲ و ۳ و ۴ و ۵ و …. هستن. طبق یک دسته بندی اعداد طبیعی به سه دسته تقسیم میشن: عدد اول ، عدد مرکب ، عددی که نه اول است و نه مرکب !

    عدد اول به عددی میگن که …

    تعریف عدد اول و عدد مرکب در اعداد طبیعی

    میدونیم که مجموعه اعداد طبیعی ۱ و ۲ و ۳ و ۴ و ۵ و …. هستن. طبق یک دسته بندی اعداد طبیعی به سه دسته تقسیم میشن:

    عدد اول به عددی میگن که به هیچ عددی بجز خودش و عدد ۱ ، بخش پذیر نیست. مثلا شما عدد ۱۷ رو در نظر بگیرین. این عدد به هیچی بخش پذیر نیست، فقط میتونی به خود ۱۷ تقسیم کنی که جوابش ۱ بشه ( ۱ = ۱۷ ÷ ۱۷ ) و یا اینکه به عدد ۱ تقسیم کنی که جوابش ۱۷ بشه ( ۱۷ = ۱ ÷ ۱۷ ) . پس خیلی راحت میشه گفت میشه گفت که عدد ۱۷ اول هست. مثل عدد ۱۷ اعداد دیگه ای هم هستن که اول باشن مثلا ۲ و ۳ و ۵ و ۷ و ۱۱ و ۱۳ و ۱۷ و ۱۹ و ۲۳ و ۲۹ و …. که تعدادشون خیلی زیاده و یا به عبارتی تعداد اعداد اول بیشمار هست.

    عدد مرکب هم به عددی میگن که از حاصل ضرب چندتا عدد اول بوجود اومده باشه . مثلا :

    ۲ × ۳ = ۶   ⇒  عدد ۶ مرکب است

    ۱۱ × ۳ = ۳۳   ⇒   عدد ۳۳ مرکب است

    ۳ × ۳  × ۲ = ۱۸   ⇒   عدد ۱۸ مرکب است

    عددی که نه اول و نه مرکب است تنها عدد ۱ است که این ویژگی را دارد. عدد ۱ برای خودش یه دسته جداگانه هست. جالبه که بدونید معمولا همین نکته به صورت سوال صحیح غلط و یا جای خالی توی امتحان پرسیده میشه. به جمله های زیر توجه کنید :

    الف ) عددی که اول نباشد ، مرکب است.

    جمله غلط است – چون اگر اول نباشه ممکنه مرکب باشه ، ممکنه هم عدد ۱ باشه. معلوم نیست.

    ب ) عددی که مرکب نباشد ، اول است.

    جمله غلط است – چون اگه مرکب نباشه ممکنه اول باشه ، ممکن هم هست که عدد ۱ باشه.

    نکته مهم و کاربردی :

    اگه توی سوال جای خالی پرسیدن که « تنها عدد اولی که زوج است ، …. می باشد. » جواب جای خالی عدد ۲ میشه!

    ویدئوی آموزشی این درس را در زیر مشاهده کنید.

    منبع مطلب : www.darsdarkhane.ir

    مدیر محترم سایت www.darsdarkhane.ir لطفا اعلامیه بالای سایت را مطالعه کنید.

    عدد اول

    عدد اول

    یک عدد اول (به انگلیسی: Prime Numberعددی طبیعی بزرگتر از ۱ است که نتوان آن را به صورت ضرب دو عدد طبیعی کوچکتر نوشت. (یعنی یکی از آن‌ها نمی‌تواند با خود عدد برابر باشد). عدد طبیعی بزرگتر از ۱ که اول نباشد را عدد مرکب گویند. به عنوان مثال ۵ یک عدد اول است، چون تنها روشی که می‌توان آن را به صورت ضرب دو عدد طبیعی نوشت به صورت 1 × 5 {\displaystyle 1\times 5} یا 5 × 1 {\displaystyle 5\times 1} است که شامل خود ۵ می‌شود (دو عددی که در ضرب می‌آیند باید از خود ۵ کوچکتر باشند یا اون عدد ماکانی باشد و هربار این درو را گوش کرده باشد). اما به عنوان مثال ۶ یک عدد مرکب است، چرا که می‌توان آن را به صورت 2 × 3 {\displaystyle 2\times 3} نوشت که هردوی آن‌ها از ۶ کوچکترند. اعداد اول در نظریه اعداد به دلیل قضیه اساسی حساب نقش محوری دارند، این قضیه می‌گوید: هر عدد طبیعی بزرگتر از ۱ یا اول است یا می‌توان آن را به ضرب اعداد اول تجزیه کرد، که این تجزیه در حد ترتیب یگانه است.

    خاصیت اعداد اول را اول بودن می‌گویند. یک روش کند برای چک کردن اول بودن یک عدد مثل n {\displaystyle \mathrm {n} } ، آزمون تقسیم است. این آزمون بخش پذیر بودن n {\displaystyle \mathrm {n} } بر هر عدد صحیح بین ۲ و n {\displaystyle {\sqrt {n}}} را چک می‌کند. الگوریتم‌های سریع تری نیز وجود دارند، مثل آزمون اول بودن میلر-رابین که سریع است اما احتمال رخ دادن درصدی خطا نیز در آن وجود دارد. آزمون دیگر، آزمون اول بودن AKS است، که همیشه جواب صحیح بدست می‌دهد، اما مرتبه زمانی آن چند جمله ای است و برای کاربردهای عملی بسیار کند می‌باشد. روش‌های بسیار سریعی برای آزمون اول بودن اعداد خاصی مثل اعداد مرسن نیز وجود دارد. تا دسامبر ۲۰۱۸ بزرگترین عدد اول شناخته شده در سیستم ده-دهی ۲۴٬۸۶۲٬۰۴۸ رقم دارد.[۱]

    اقلیدس حدود ۳۰۰ قبل از میلاد اثبات کرد که بی‌نهایت عدد اول وجود دارد. با این حال، توزیع اعداد اول در میان اعداد طبیعی را می‌توان از نظر آماری مدلسازی کرد. اولین نتیجه ای که در این جهت حاصل شد قضیه اعداد اول بود که در انتهای قرن نوزدهم بدست آمد. این قضیه می‌گوید که احتمال اول بودن یک عدد طبیعی تصادفی با تعداد ارقام آن (یعنی لگاریتم آن عدد) رابطه عکس دارد.

    چندین سؤال تاریخی در ارتباط با اعداد اول هنوز لاینحل مانده‌اند. این سوالات شامل حدس گلدباخ می‌شود، این حدس می‌گوید که هر عدد صحیح زوج بزرگتر از ۲ را می‌توان به صورت جمع دو عدد اول بیان کرد. یکی دیگر از این سؤالات حدس اعداد اول دوقلو است، که می‌گوید تعداد اعداد اولی که تفاضلشان فقط ۲ باشد بی‌نهایت است. چنین سؤالاتی موجب پیشرفت شاخه‌های مختلف نظریه اعداد گشتند که در این مسیر بر روی جنبه‌های تحلیلی و جبری اعداد تمرکز شده‌است. اعداد اول در چندین مسیر فناوری اطلاعات استفاده شده‌اند مثل رمزنگاری کلید عمومی که به سخت بودن تجزیه اعداد بزرگ به عوامل اولشان تکیه می‌کند. در جبر مجرد، اشیائی وجود دارند که به صورت تعمیم یافته شبیه اعداد اول عمل می‌کنند، مثل عناصر اول و ایده‌آل‌های اول.

    تعریف و مثال‌ها[ویرایش]

    عدد اول عددی طبیعی بزرگ‌تر از ۱ است که بر هیچ عددی به جز خودش و ۱ بخش‌پذیر نباشد.[۲] تنها استثنا عدد ۱ است که جزو این اعداد قرار نمی‌گیرد. اگر عددی طبیعی و بزرگتر از ۱ اول نباشد مرکب است.[۳]

    پیدا کردن رابطه‌ای جبری برای اعداد اول جزء یکی از معماهای ریاضی باقی مانده‌است و هنوز کسی به فرمولی برای آنها دست نیافته‌است.

    دنبالهٔ اعداد اول به این صورت شروع می‌شود:

    ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷، ۱۹، ۲۳، ۲۹، ۳۱، ۳۷، ۴۱، ۴۳، ۴۷، ۵۳، ۵۹، ۶۱، ۶۷، ۷۱، ۷۳، ۷۹، ۸۳، ۸۹، ۹۷، ۱۰۱، ۱۰۳، ۱۰۷، ۱۰۹، ۱۱۳، ۱۲۷، ۱۳۱، ۱۳۷، ۱۳۹، ...[۴]

    قضیه‌ها[ویرایش]

    به این اثبات دقت کنید از برهان خلف استفاده می‌کنیم:

    فرض خلف : اعداد اول متناهی است.

    اعداد اول را در هم ضرب می‌کنیم.

    P 1 , P 2 , P 3 , . . . , P n {\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3},...,P_{n}}

    ضرب اعداد از P i {\displaystyle P_{i}} بزرگ‌تراست.

    P 1 × P 2 × P 3 × . . . × P n > P i {\displaystyle P_{1}\times P_{2}\times P_{3}\times ...\times P_{n}>P_{i}}

    P 1 × P 2 × P 3 × . . . × P n + 1 > P i {\displaystyle P_{1}\times P_{2}\times P_{3}\times ...\times P_{n}+1>P_{i}}

    P 1 × P 2 × P 3 × . . . × P n + 1 = P i 1 . . . P i k {\displaystyle P_{1}\times P_{2}\times P_{3}\times ...\times P_{n}+1=P_{i_{1}}...P_{i_{k}}}

    P 1 × P 2 × P 3 × . . . × P n + 1 = P i × X {\displaystyle P_{1}\times P_{2}\times P_{3}\times ...\times P_{n}+1=P_{i}\times X}

    P i 1 × . . . × P i k = P i × X {\displaystyle P_{i_{1}}\times ...\times P_{i_{k}}=P_{i}\times X}

    P 1 × P 2 × P 3 × . . . × P n + 1 = Y + 1 {\displaystyle P_{1}\times P_{2}\times P_{3}\times ...\times P_{n}+1=Y+1}

    P i 1 × Y + 1 = P i 1 × X {\displaystyle P_{i_{1}}\times Y+1=P_{i_{1}}\times X}

    P i 1 × X P i 1 × Y = 1 {\displaystyle P_{i_{1}}\times X-P_{i_{1}}\times Y=1}

    P i 1 × ( X Y ) = 1 {\displaystyle P_{i_{1}}\times (X-Y)=1}

    P i 1 = 1 {\displaystyle P_{i_{1}}=1}

    که عدد یک جزء اعداد اول نیست پس به تناقض می‌رسیم و فرض خلف باطل است. اعداد اول نامتناهی هستند.

    k عدد اول وجود دارد.

    قضایای اعداد اول[ویرایش]

    حدس گلدباخ (تاکنون اثبات نشده): هر عدد زوج را می‌توان به شکل جمع دو عدد اول نوشت.

    2 k = p n + p m {\displaystyle 2k=p_{n}+p_{m}}

    مثال به شرح ذیل می‌باشد:

    4 = 2 + 2 {\displaystyle 4=2+2}

    6 = 3 + 3 {\displaystyle 6=3+3}

    8 = 5 + 3 {\displaystyle 8=5+3}

    10 = 5 + 5 {\displaystyle 10=5+5}

    12 = 7 + 5 {\displaystyle 12=7+5}

    14 = 7 + 7 {\displaystyle 14=7+7}

    16 = 11 + 5 {\displaystyle 16=11+5}

    18 = 11 + 7 {\displaystyle 18=11+7}

    20 = 13 + 7 {\displaystyle 20=13+7}

    22 = 11 + 11 {\displaystyle 22=11+11}

    24 = 13 + 11 {\displaystyle 24=13+11}

    26 = 19 + 7 {\displaystyle 26=19+7}

    ۲. حدس قوی گلدباخ: هر عدد فرد بزرگتر از ۵ را می‌توان به صورت مجموع ۳ عدد اول نوشت.

    تابع شمارش اعداد اول[ویرایش]

    در ریاضیات تابع شمارش اعداد اول تابعی است که برای بیان تعداد اعداد اول به کار می‌رود و آن را با نماد π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} نمایش می‌دهند.

    ریاضیدان فرانسوی پیر دوسارارت ثابت کرد که برای x ≥ ۵۹۹ رابطه زیر برقرار است:

    x ln x ( 1 + 1 ln x ) < π ( x ) < x ln x ( 1 + 1 ln x + 2.51 ( ln x ) 2 ) . {\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}\left(1+{\frac {1}{\ln x}}\right)<\pi (x)<{\frac {x}{\ln x}}\left(1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2.51}{(\ln x)^{2}}}\right).}

    همچنین ثابت کرد که برای هر x ≥ ۳۵۵۹۹۱:

    x ln x + 2 < π ( x ) < x ln x 4 {\displaystyle {\frac {x}{\ln x+2}}<\pi (x)<{\frac {x}{\ln x-4}}}

    بعدها ثابت شد که برای هر ε>۰ وجود دارد عددی طبیعی ماننده s که برای هر x>s رابطه زیر برقرار است:

    x ln x ( 1 ε ) < π ( x ) < x ln x ( 1 + ε ) . {\displaystyle {\frac {x}{\ln x-(1-\varepsilon )}}<\pi (x)<{\frac {x}{\ln x-(1+\varepsilon )}}.}

    قضیه اعداد اول[ویرایش]

    اگر π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} تعداد اعداد اول کمتر از x {\displaystyle x} باشد

    آنگاه lim x π ( x ) x / l n ( x ) = 1 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/ln(x)}}=1}

    با استفاده از قضیه اعداد اول می‌توان اثبات کرد که:

    lim x p ( x ) x ln ( x ) = 1 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {p(x)}{x\ln(x)}}=1}

    که در آن تابع p ( x ) {\displaystyle p(x)} ، تابع مولد اعداد اول باشد. یعنی x امین عدد اول p ( x ) = {\displaystyle p(x)=}

    اثبات مطلب بالا به شرح زیر است:

    می‌دانیم lim x π ( x ) x / l n ( x ) = 1 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/ln(x)}}=1}

    π ( x ) x ln x . {\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}.\!}

    می‌دانیم توابع p ( x ) {\displaystyle p(x)} و π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} معکوس هم هستند. یعنی:

    p 1 ( x ) = π ( x ) {\displaystyle p^{-1}\left(\,x\,\right)=\pi (x)}

    در نتیجه می‌توان با حل معادله π ( x ) = x {\displaystyle \pi (x)=x} تابع p ( x ) {\displaystyle p(x)} را یافت.

    می‌دانیم π ( x ) x ln x . {\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}.\!}

    پس با حل معادله x ln x = x {\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}=x} می‌توان هم‌ارزی برای p ( x ) {\displaystyle p(x)} یافت.

    به روش تکرار ساده معادله را حل می‌کنیم.

    x 1 ln x = x 2 {\displaystyle {\frac {x_{1}}{\ln x}}=x_{2}}

    x 1 = x 2 ln ( x ) {\displaystyle {x_{1}}=x_{2}\ln(x)}

    p ( x ) = x ln ( x ) {\displaystyle p(x)=x\ln(x)}

    اما باید توجه داشت چون به جای π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} از تابع هم ارز آن استفاده شده پس:

    p ( x ) x ln ( x ) {\displaystyle p(x)\sim \ x\ln(x)}

    در نتیجه:

    lim x p ( x ) x ln ( x ) = 1 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {p(x)}{x\ln(x)}}=1}

    قضیه ویلسون[ویرایش]

    قضیه ویلسون راهی برای تشخیص اعداد اول است. این قضیه بیان می‌کند به ازای هر عدد اول مانند p {\displaystyle \;p} داریم ( p 1 ) ! 1 ( mod p ) {\displaystyle \;(p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}}

    این قضیه دوشرطی است بنابراین راهی برای تشخیص اعداد اول از مرکب است یعنی:

    برای هر عدد صحیح x اگر رابطه زیر برقرار باشد آنگاه x عددی اول است در غیر این صورت x عددی مرکب است.

    {\displaystyle \;} ( x 1 ) ! 1 ( mod x ) {\displaystyle \;(x-1)!\equiv -1{\pmod {x}}}

    این قضیه تعمیم‌هایی به شکل زیر دارد:

    تعمیم گاوس: کارل فریدریش گاوس ریاضیدان آلمانی در سال ۱۸۰۰ میلادی ثابت کرده که برای هر عدد طبیعی m>۲ عدد اول p

    k = 1 gcd ( k , m ) = 1 m k { 1 ( mod m ) if  m = 4 , p α , 2 p α 1 ( mod m ) otherwise {\displaystyle \prod _{k=1 \atop \gcd(k,m)=1}^{m}\!\!k\ \equiv {\begin{cases}-1{\pmod {m}}&{\text{if }}m=4,\;p^{\alpha },\;2p^{\alpha }\\\;\;\,1{\pmod {m}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}

    در اینجا α {\displaystyle \alpha } عددی صحیح و مثبت است.

    بزرگترین عدد اول کشف شده[ویرایش]

    بزرگ‌ترین عدد اول کشف شده تا (۲۰۱۶) برابر دو به توان ۷۴ میلیون و ۲۰۷ هزار و ۲۸۱ منهای یک است.[۶] این عدد ۲۲٬۳۳۸٬۶۱۸ رقم دارد و یک عدد مرسن است. عدد مرسن عددی است که برابر ۲ به توان n منهای یک است. در سال ۲۰۱۸، طولانی‌ترین عدد اول که دارای ۲۳ میلیون رقم است؛ کشف شد. این عدد اول نیز یک عدد مرسن است که در جریان محاسبات در رایانه یک مهندس برق به نام جاناتان پیس در آمریکا در جریان پروژه‌ای برای کشف اعداد اول به نام «تحقیق اینترنتی بزرگ عدد مرسن» (GIMPS) کشف شد. این عدد را به اختصار و به‌طور قراردادی، M77232917 نامیده‌اند. پژوهش‌ها برای یافتن عددهای اول بزرگ دشوار و نیازمند نرم‌افزارهای خاص و همکاری علمی پژوهشگران هستند.[۷]

    جایزه‌ها برای پیدا کردن اعداد اول[ویرایش]

    مؤسسه Electronic Frontier Foundation جایزه‌ای به مبلغ صدهزار دلار برای اولین کسی که یک عدد اول با حداقل ۱۰ میلیون رقم پیدا کند در نظر گرفته‌است. همچنین مبلغ ۱۵۰ هزار دلار برای کسی که یک عدد اول با ۱۰۰ میلیون رقم و ۲۵۰ هزار دلار برای ۱ میلیارد رقم در نظر گرفته شده‌است. این مؤسسه ممکن است مبلغ ۱۰۰ هزار دلار برای دپارتمان ریاضی دانشگاه UCLA که موفق به کشف یک عدد اول ۱۳ میلیون رقمی شدند پرداخت کند.

    الگوهای توزیع اعداد اول[ویرایش]

    یکی از مسائل مورد توجه ریاضی‌دانان، چگونگی توزیع و ترتیب قرارگرفتن اعداد اول درون رشته اعداد طبیعی است. این چگونگی دارای الگوهایی است که یکی از آنها به «الگوی پیشرفت عددی» معروف است.
    مثلاً اگر به عدد ۵ که عددی اول است، ۶ واحد اضافه کنیم به ۱۱ و اگر به ۱۱، ۶ واحد اضافه کنیم به ۱۷ و اگر دوباره اضافه کنیم، به ۲۳ و ۲۹ می‌رسیم که همگی اعدادی اولند. اما با اضافه کردن ۶ واحد دیگر به ۳۵ می‌رسیم که عددی اول نیست و الگو متوقف می‌گردد.

    مسئله مورد توجه اینست که در هر الگوی پیشرفت چند عدد اول پیش از رسیدن به اولین عدد غیر اول، بدست می‌آیند؟ طولانی‌ترین رشته‌ای که تاکنون بدست آمده، ۲۲ عدد اول را شامل است. اولین عدد اول این رشته ۱۱۴۱۰۳۳۷۸۵۰۵۵۳ بوده که اگر عدد ۴۶۰۹۰۹۸۶۹۴۲۰۰ به آن اضافه شود عدد اول بعدی به‌وجود می‌آید و می‌توان ۲۲ بار عدد مذکور را به اعداد اول مرحله قبل افزود و عدد اولی جدید بدست آورد. دو ریاضی‌دان اثبات کرده‌اند برای هر رشته از اعداد اول می‌توان به یک رشته عددی رسید.[۸]

    جستارهای وابسته[ویرایش]

    منابع[ویرایش]

    منبع مطلب : fa.wikipedia.org

    مدیر محترم سایت fa.wikipedia.org لطفا اعلامیه بالای سایت را مطالعه کنید.

    اعداد اول ریاضی هشتم - ریاضیکا | ریاضی آسان است

    اعداد اول ریاضی هشتم - ریاضیکا | ریاضی آسان است

    آماده باشید؛ قرار است تا چند لحظه دیگر با موجودات مستقلی روبرو شویم که فقط روی پای خود می‌ایستند! معرفی می‌کنم: اعداد اول ! در این درس خواهید دید این اعداد به کسی باج نمی‌دهند و تنها اندکی با عدد یک کنار می‌آیند. بخش‌پذیری بر اعداد دیگر برای آن‌ها ضعف محسوب می‌شود و هیچ‌گاه با این موضوع کنار نمی‌آیند…

    در این درس از مجموعه آموزش ریاضی پایه هشتم ، با یادآوری مفاهیم اعداد اول و اعداد مرکب، استفاده از نمودار درختی برای تجزیه یک عدد به شمارنده‌های اول را یاد گرفته و خواهیم دید دو عدد ممکن است نسبت به هم اول باشند. در ادامه روش‌های مهم اعداد اول ریاضی هشتم، یعنی روش غربال و روش تشخیص اول یا مرکب بودن یک عدد به کمک جذر تقریبی آن را خواهیم آموخت.

    یادآوری اعداد اول

    در فصل 5 ریاضی پایه هفتم با اعداد اول ، شمارنده اول، ب.م.م و ک.م.م آشنا شدیم. در این بخش اجازه دهید چند تعریف و نکته مهم را مرور کنیم تا با آمادگی کامل سراغ اصل مطلب برویم:

    تعریف اعداد اول

    به بیان ساده‌تر: اعداد اول ، تنها بر عدد 1 و خودشان بخش‌پذیرند. به عنوان نمونه دو عدد 30 و 31 را در نظر بگیرید:

    عدد 30 بر اعداد 1، 2، 3، 5، 6، 10 و 15 بخش‌پذیر است (یعنی بجز یک و خودش، پنج شمارندۀ دیگر نیز دارد). پس عدد 30، عدد اول نیست. اما عدد 31 تنها بر یک و خودش (31) بخش‌پذیر است و بجز آن هیچ شمارندۀ دیگری ندارد. پس عدد 31، یک عدد اول است.

    تعریف اعداد مرکب

    به عنوان نمونه شمارنده‌های طبیعی عدد 14، اعداد 1، 2، 7 و 14 است که بیش از دو شمارندۀ طبیعی (4 تا) دارد؛ بنابراین جزو اعداد مرکب محسوب می‌شود.

    نکته 1: اگر بتوانیم عددی را بصورت ضرب دو عدد طبیعی بزرگتر از یک بنویسیم، آن عدد مرکب خواهد بود. (از این روش برای تشخیص سریع‌تر اعداد مرکب استفاده کنید)

    به نظر شما 2800 چه نوع عددی است؟ با استفاده از این نکته می‌توانیم به راحتی پاسخ دهیم: عدد مرکب. چون می‌توانیم 2800 را بصورت ضرب 28 در 100 بنویسیم.

    نکته 2: عدد یک، نه اول است و نه مرکب.

    دسته‌بندی اعداد طبیعی با توجه به تعریف اعداد اول

    با توجه به تعاریف گفته شده در بالا، می‌توان اعداد طبیعی را به سه دسته زیر تقسیم کرد:

    مثال 1: اعداد 1 تا 20 را نوشته و اعداد اول و اعداد مرکب را مشخص نمایید.

    حل 1:

    برای پاسخ به این مثال، از تعریف اعداد اول و اعداد مرکب استفاده می‌کنیم. بیایید اعداد را یکی یکی بررسی کنیم:

    تکلیف عدد 1 که مشخص است: نه اول است و نه مرکب. عدد 2 تنها بر 1 و 2 بخش‌پذیر است (پس اول است). عدد 3 نیز بجز 1 و خودش هیچ شمارندۀ طبیعی ندارد (پس اول است). عدد 4 بر 1، 2 و 4 بخش‌پذیر است (پس مرکب است، چون بجز یک و خودش، عدد 2 را نیز می‌شمارد). عدد 5 بر چه اعدادی بخش‌پذیر است؟ فقط 1 و 5 (پس اول است). عدد 6 را می‌توانیم بصورت ضرب 2 در 3 بنویسیم (پس با توجه به نکته گفته شده مرکب است).

    این اعداد را با همین روش بررسی می‌کنیم، دور اعداد اول با دایره سبز و دور اعداد مرکب با دایره قرمز خط می‌کشیم:

    رسم نمودار درختی یک عدد

    می‌دانیم که هر عدد طبیعی را می‌توان بصورت ضرب شمارنده‌های آن نوشت. همچنین در برخی موارد مانند بدست آوردن ب.م.م و ک.م.م دو عدد، لازم است عدد را بصورت ضرب شمارنده‌های اول (شمارنده‌هایی که اعداد اول هستند) آن بنویسیم. برای تجزیه یک عدد بصورت ضرب شمارنده‌های اول آن، از نمودار درختی عدد استفاده می‌کنیم.

    برای رسم نمودار درختی عدد، ابتدا عدد را مطابق شکل زیر نوشته و دو شمارندۀ دلخواه آن (بجز یک) را با دو شاخه به زیر آن وصل می‌کنیم. هرجا شمارندۀ اول دیدیم دور آن دایره می‌کشیم. این کار را برای هر شمارندۀ غیر اول هم ادامه می‌دهیم تا در نهایت فقط شمارنده‌های اول داشته باشیم.

    در این نمونه، نمودار درختی عدد 42 را رسم کرده‌ایم. ابتدا آن را بصورت ضرب 6 در 7 نوشته‌ایم؛ 7 یک عدد اول است، پس دور آن دایره کشیدیم. 6 یک عدد مرکب است، پس آن را باز هم بصورت ضرب 2 در 3 نوشتیم. اعداد 2 و 3 هر دو اعداد اول هستند، پس دور آن‌ها را نیز دایره می‌کشیم.

    دقت کنید که در نهایت، عدد داده شده بصورت ضرب شمارنده‌های اول (اعداد درون دایره) نوشته می‌شود.

    مثال 2: اعداد24 و 17 را به کمک نمودار درختی به اعداد اول تجزیه کنید.

    حل 2:

    ابتدا عدد 24 را مطابق روش گفته شده بصورت ضرب دو عدد می‌نویسیم. 2 ضربدر 12 یا 4 ضربدر 6 یا 8 ضربدر 3- انتخاب با شماست! بیایید 8 ضربدر 3 را پیش برویم:

    عدد 3 اول است، پس دور آن دایره می‌کشیم. عدد 8 مرکب است، پس آن را بصورت ضرب دو عدد (4 ضربدر 2) می‌نویسیم. عدد 2 اول است، دور آن دایره می‌کشیم. عدد 4 را بصورت ضرب 2 در 2 نوشته و چون هر دو عدد اول هستند، دور آن‌ها دایره رسم می‌کنیم.

    بنابراین عدد 24 برابر است با ضرب شمارنده‌های اول (اعداد درون دایره). دقت کنید که با توجه به سه بار تکرار عدد 2 بر اساس مفهوم توان، می‌توان نوشت:

    \( \Large 24 = 2^3 × 3 \)

    امّا نمودار درختی عدد 17 چگونه است؟

    گفتیم در رسم نمودار درختی، عدد را بصورت ضرب دو شمارنده بجز عدد 1 می‌نویسیم. عدد 17، یک عدد اول است، پس بجز 1 و 17 هیچ شمارندۀ دیگری ندارد و نمودار درختی آن بدین صورت خواهد بود:

    نکته: نمودار درختی اعداد اول تنها یک خط (شاخه) دارد و خود آن عدد در دایره پایین خط نوشته می‌شود.

    مضارب طبیعی یک عدد

    اگر یک عدد را به ترتیب در اعداد طبیعی {1، 2، 3 و …} ضرب کنیم، مضرب‌های طبیعی آن عدد بدست خواهد آمد.

    به عنوان نمونه مضارب اول، دوم و سوم عدد 6 به ترتیب برابرند با: {6، 12 و 18}.

    \( \Large 6 × 1 = 6 \)

    \( \Large 6 × 2 = 12 \)

    \( \Large 6 × 3 = 18 \)

    نکته 1: مضارب طبیعی اعداد اول به جز مضرب اول آن (خود آن عدد) مرکب‌اند. مثلاً: مضرب‌های طبیعی 7 عبارتند از: {…, 28, 21, 14, 7} که همگی بجز خود 7 مرکب هستند.

    نکته 2: تمامی مضارب طبیعی اعداد مرکب، مرکب هستند. مثلاً: مضرب‌های طبیعی 9 عبارتند از: {…, 36, 27, 18, 9} که همگی مرکب هستند.

    دو عدد متباین (نسبت به هم اول)

    یادآوری: ب.م.م یعنی بزرگترین مقسومٌ‌علیه (شمارندۀ) مشترک دو عدد که برابر است با شمارنده‌های مشترک دو عدد با کوچکترین توان بدست می‌آید.

    اگر ب.م.م دو عدد برابر یک باشد، می گوییم آن دو عدد نسبت به هم اول هستند. در واقع دو عددی که هیچ شمارندۀ اول مشترکی نداشته باشند نسبت به هم اول‌اند.

    مثال 3: از بین جفت عددهای زیر کدام‌یک نسبت به هم اول‌اند؟

    الف) 14 و 20

    ب) 6 و 35

    حل 3:

    الف)

    ابتدا باید ب.م.م اعداد 14 و 20 را بدست آوریم:

    می‌بینیم که تنها شمارندۀ اول مشترک این دو عدد، 2 است؛ یعنی 2= (20,14). پس این دو نسبت به هم اول نیستند.

    ب)

    ب.م.م اعداد 6 و 35 را با رسم نمودار درختی و تجزیه به اعداد اول بدست می‌آوریم:

    این دو عدد، شمارندۀ مشترکی ندارند؛ یعنی 1= (35,6). بنابراین اعداد 6 و 35 نسبت به هم اول (متباین) هستند.

    نکته 1: اعداد طبیعی زیر همواره نسبت به هم اول هستند:

    نکته 2: اگر دو عدد نسبت به هم اول باشند، ک.م.م آن‌ها برابر است با ضرب آن دو عدد.

    (چرا؟) چون ک.م.م از ضرب شمارنده‌های مشترک با بزرگترین توان در شمارنده‌های غیرمشترک بدست می‌آید. وقتی دو عدد نسبت به هم اول‌اند، هیچ شمارنده مشترکی ندارند و برای بدست آوردن ک.م.م باید آن دو را در هم ضرب کرد.

    مثلاً ک.م.م اعداد 6 و 35 برابر است با: 210= 35 × 6 = [35, 6]؛ چون این دو نسبت به هم اول‌اند.

    تعیین اعداد اول

    در بخش‌های قبل با استفاده از مفاهیم عدد اول و عدد مرکب، آن‌ها را تشخیص دادیم. در مبحث اعداد اول ریاضی هشتم با دو روش برای تعیین این که یک عدد اول است یا نه آشنا خواهیم شد: «روش غربال» برای تعیین اعداد اول در یک بازه عددی و روش دیگر برای تشخیص اول یا مرکب بودن یک عدد.

    روش غربال

    برای تعیین اعداد اول در محدوده‌ای از اعداد از روش غربال استفاده می‌شود؛ برای این کار مراحل زیر را گام به گام انجام می‌دهیم:

    مثال 4: اعداد اول بین 1 تا 40 را مشخص کنید.

    حل 4:

    چون سؤال از ما اعداد اول در یک بازه را خواسته است، مطابق مراحل روش غربال پیش می‌رویم.

    تا کجا باید پیش برویم؟ تا مضارب عدد 5؛ چون مربع عدد اول بعد از آن یعنی 7 برابر است با 49 و از بزرگترین عدد این بازه (40) بزرگتر است:

    تشخیص اول یا مرکب بودن یک عدد

    برای تشخیص این که یک عدد، اول است یا مرکب کافی است آن عدد را بر اعداد اول کوچکتر از جذرش تقسیم کنیم. اگر بر هیچ‌یک از آن‌ها بخش‌پذیر نبود، عدد اول و در غیر این صورت مرکب خواهد بود.

    مثال 5: عدد 143 اول است یا مرکب؟

    حل 5:

    با توجه به روش گفته شده، ابتدا باید جذر این عدد را محاسبه کنیم (برای این کار می‌توانیم از روش محاسبه جذر تقریبی استفاده می‌کنیم):

    \( \Large \sqrt {143} \simeq 11/96 \)

    بنابراین 143 را بر اعداد اول کوچکتر از 11/96 (یعنی 2، 3، 5، 7 و 11) تقسیم می‌کنیم:

    این عدد بر 11 بخش‌پذیر است؛ پس مرکب خواهد بود.

    زنگ آخر کلاس اعداد اول ریاضی هشتم

    احتمالاً با مطالعه این درس متوجه شده‌اید که اعداد اول چقدر از بخش‌پذیر بودن بر سایر عددها متنفرند! تنها عددی که با این اعداد در حالت آتش‌بس قرار دارد، عدد یک است.

    در این درس‌نامه تعریف اعداد اول و اعداد مرکب، روش تجزیه یک عدد به کمک نمودار درختی، مفهوم اول بودن دو عدد نسبت به هم (دو عدد متباین) را مرور کردیم. در پایان این درس به دلیل حل مثال‌های متنوع، به خوبی خواهیم توانست هر جا لازم شد از روش غربال و روش تشخیص اول یا مرکب بودن عدد استفاده کنیم.

    در صورتی که هر سؤالی از این مبحث داشتید، سوال خود را در پایین همین قسمت در دیدگاه‌ها برایمان بنویسید. کارشناسانریاضیکابه سؤالات شما پاسخ خواهند داد.

    منبع مطلب : riazica.com

    مدیر محترم سایت riazica.com لطفا اعلامیه بالای سایت را مطالعه کنید.

    جواب کاربران در نظرات پایین سایت

    مهدی : نمیدونم, کاش دوستان در نظرات جواب رو بفرستن.

    ناشناس : نادرست

    احمد : چرا انقدر زر میزنید جوابِش یک کلمه است درست یا نادرست در ضمن اسمَمَم احمد نیس

    میخواهید جواب یا ادامه مطلب را ببینید ؟
    هادی 8 روز قبل
    0

    مجموع دو عدد اول عددی مرکب است

    هادی 8 روز قبل
    0

    مجموع دو عدد اول عددی مرکب است

    هادی 8 روز قبل
    1

    همه اعداد اول فرد هستند

    عالیه 16 روز قبل
    0

    عالیه

    ناشناس 6 ماه قبل
    -2

    ههههههه

    احمد 7 ماه قبل
    8

    چرا انقدر زر میزنید جوابِش یک کلمه است درست یا نادرست در ضمن اسمَمَم احمد نیس

    ناشناس 10 ماه قبل
    3

    همه اعداد اول فرد هستند درست یا نادرست

    17
    ناشناس 9 ماه قبل

    نادرست

    مهدی 11 ماه قبل
    0

    نمیدونم, کاش دوستان در نظرات جواب رو بفرستن.

    برای ارسال نظر کلیک کنید